宋代是中国古代数学的最繁盛时期，是中国古代数学的颠峰。宋朝涌现许多杰出的数学家，出现了大批有份量的数学著作。宋朝商业的繁荣发展引起计算的需要，对计算技术提出了改革要求。宋朝计算技术的改革促使中国产生了算码。算码产生后，在商业计算上就被普遍使用，后来在数学演算上也使用算码。北宋初期已经出现有关简捷算法的专书。公元1084年北宋政府秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为宋朝数学发展创造了良好的条件。宋代最抽象的数学成就极高，在希腊文明与西方之间的空白地带鹤立鸡群。宋的代数学充分发挥了绝对化的方法，把汉代方程解法的组合变换式发展到了一个奇妙的境界，不但在解法上解决了很多问题，也提出了高次方程丶虚根等问题。西方的方程学在几个世纪之后才出现。宋的方程学是一个发达的数学学科。

　　沈括创立了“隙积术”和“会圆术”。沈括通过对堆积的酒坛和垒起的棋子之类有空隙的堆积体的研究，提出了求它们的总数的方法，这就是“隙积术”，“隙积术”其实质是高阶等差级数求和，他是中国第一个高阶级等差级数。沈括还从计算田亩出发，考察了圆弓形中弧丶弦和矢之间的关系，提出了由弦和矢的长度求弧长的近似公式，这就是“会圆术”。会圆术是一个几何问题，把勾股定理用于从弓行的弦丶和矢求弧长。隙积术和会圆术是后世垛积术及弧矢割圆术之先河，为中国古代数学开辟了新的研究方向。

　　宋朝著名数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，“增乘开方法”用于求解高次方程，是在求得一位商后即以之乘高次未知数的系数加入新方程一次项系数。在作法上把商丶常数项丶新方程一次项系数和高次未知数系数分别排列，再用上法对这个组合进行变换。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”丶“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有北宋贾宪的“开方作法本源图”丶“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。“开方作法本源图”即二项式定理系数表，从此解代数方程不只是开平方丶开立方，而是上升到开四次以上的方程，这是在认识上是一个飞跃。西方七百年后1819年才由英国人霍纳发明了同样的方法。贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

　　南宋杰出的数学家秦九韶，公元1247年在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。秦九韶还推广了孙子定理，他的“大衍求一术”将孙子定理的方法从较小的数和较少的同余式个数推广到一般解法。秦九韶的大衍求一术整数论中一次同余式的解法，比欧洲的尤拉和高斯的有关研究要早500年。秦九韶还得出了与希腊海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式。刘益的“益积术”丶“减从术”也是对系数组合进行变换的技术。数学家李冶公元1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。数学家杨辉公元1261年在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和，给出了几种高阶级数的求法。公元1274年在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。此外杨辉还发展了九宫图，他作了圆丶直线交叉的组合。使宋在组合数学上也有进步。杨辉在数学组合上指出4×4数学方阵上交换对角结果，可惜他以后没有进一步发展。

　　数学在宋代已经开始得到重视，无论是金还是元的数学都是宋数学的延续。正如金元的辉煌都是宋的遗产。数学的研究成果在宋朝已开始有应用的环境了。沈括说“算术不患多学，见简即用，见繁即变，不胶一法，乃为通术也。”数学家秦九韶认为数学的研究成果“可以经世务，悉万物”，“窃尝设为问答以拟于用的”。数学家李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”丶“玩物”等长期存在的士风谬论。他说“术虽居六艺之末，而施人之事，则要实惠得多。”中国的数学在宋代领先西方几个世纪。遗憾的是宋以后中国的数学开始衰落，虽然在元朝中国古代数学还有持续的零星发展，但中国数学整体的已没有继续丶发展运用的大环境了。如今的宋朝数学成就只有依稀从有幸流传下来书籍的支言片言中窥其一二，所以明代数学著作《算法统宗》记载的线性方程求解不能自圆其说，因为这只是记下了宋代科学家对其的一个结论，至于过程已经没有了……中国宋代是数学是世界的奇迹，但也是中国科学的一个悲剧……